2016年数学全真模拟试卷三

 时间:2016-01-06 00:56:49 贡献者:tan答

导读:2016 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 三 试题Ⅰ一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A  {  1,0,2},B

陕西省2016届高考数学全真模拟试题(四)理(扫描版)答案
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2016 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 三 试题Ⅰ一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A  {  1,0,2},B  {x|x  2n  1,n∈Z},则 A∩B  【答案】{  1} 2. 设 e1 , e 2 是平面内两个不共线的向量, a  xe1  3e2 ( x  R) , b  2e1  e2 .若 a // b ,则 x 的值 为 ▲ . ▲ .【答案】  6 3. 从集合{1,2,3}中随机取一个元素,记为 a,从集合{2,3,4}中随机取一个元素,记为 b, 则 a≤b 的概率为 ▲ 【答案】 8 9 4. 如图,是某铁路客运部门设计的甲、乙两地之间旅客托运 行李的费用 c (单位:元)与行李重量 w (单位:千克) 之间的流程图.假定某旅客的托运费为 10 元,则该旅客 托运的行李重量为 ▲ 千克. 【答案】200, x  0,  5. 函数 f ( x)   的零点个数为 ▲ . x  1, x0  x . 开始 输入 w Y c← 0.5w w ≤ 50 Nc← 25+(w-50)×0.8输出 c 结束(第 4 题)【答案】3 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y  x ln x 在 人数x  e 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是 ▲ .2【答案】 e 47. 如图, 是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图, 利用组中值可估计其的平均分为 【答案】62 ▲ .10 8 6 4 2 O 20 40 60 80 100 成绩(第 7 题)  0,   ) 的图象关于坐标原点中心对称,且在 y 轴右侧 8. 若函数 f ( x)  A sin( x   ) ( A  0, 的第一个极值点为 x   ,则函数 f ( x) 的最小正周期为 ▲ . 1

【答案】 4  3 9. 关于定义在 R 上的函数 f ( x) ,给出下列三个命题: ①若 f (1)  f (1) ,则 f ( x) 不是奇函数; ②若 f (1)  f (1) ,则 f ( x) 在 R 上不是单调减函数; ③若 f (1  x)  f ( x  1) 对任意的 x  R 恒成立,则 f ( x) 是周期函数. 其中所有正确的命题序号是 【答案】②③ 10.已知数列 an  的前 n 项和 Sn  k n  1 (k  R) ,且 an  既不是等差数列,也不是等比数列,则 k 的 取值集合是 ▲ . 【答案】 0 . 【解析】 . 11.如果将直线 l : x  2 y  c  0 向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得直线 l  与圆 C :x2  y 2  2x  4 y  0 相切,则实数 c 的值构成的集合为▲ .▲ .【答案】{ 3 ,  13 } 【解析】易得直线 l  : ( x  1)  2( y  2)  c  0 ,即 x  2 y  c  5  0 ,圆 C : ( x  1)2  ( y  2)2  5l  : x  2 y  c 5 0 ,2 ) 的圆心 ( 1 到直线 的距离c8 5 5 ,解得 c  3 或 c  13 .12.已知正数 x,y 满足 xy  【答案】 1 3 【解析】由 2 xy x y ,则 y 的最大值为 ▲ . x  3y2x  y 2x  y 1 1 ,得 2x  3 y  ,   2x  3 y 2xy y 2xy≤1 . 所以 1  3 y  2 3 y 2  2y  1 ≤ ,解得 0 x 1≥ 2 x 2 1  ,从而 2 3 y 2x 2x13.考察下列等式:cos π  isin π  a1  b1i , 4 4 isin π   a  b i , cos π 4 4  isin π   a  b i , cos π 4 42 2 23 3 3„„ isin π   a  b i , cos π 4 4n n n2

其中 i 为虚数单位,an,bn(n  N* )均为实数.由归纳可得,a2015  b2015 的值为 【答案】0 【解析】通过归纳可得,▲ . isin π   cos n π  isin n π ,从而 a cos π 4 4 4 4n2015 b2015  cos 2015π 4 sin 2015π  0. 4               14.在△ABC 中, AE  1 AB , AF  2 AC .设 BF , CE 交于点 P ,且 EP   EC , FP   FB 3 3(  ,   R ),则    的值为 【答案】 5 7▲ .【解析】不妨考虑等腰直角三角形 ABC,设 AB  3 , AC  3 , 以 AB, AC 分别为 x 轴, y 轴建立平面直角坐标系 xOy ,0) , F (0, 0) , B(3, 0) , C (0, 3) , E (1, 2) , 则 A (0,y 直线 BF 的方程为: x   1 ,① 3 2直线 CE 的方程为: x y  1 ,② 3由①②得, x  3 , y  12 ,所以 P 3 ,1 2 , 7 7 7 7             3 ) 3  0  ( 3  0 ) 代入 E P  E C , F P  F B 得,  1  ( 0  1 , , 7 7 解得   4 ,   1 ,故     5 . 7 7 7二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证 ....... 明过程或演算步骤. 15. (本题满分14分) 已知△ABC 内接于单位圆(半径为 1 个单位长度的圆) ,且 (1  tan A)(1  tan B)  2 . (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 面积的最大值. (1)由 (1  tan A)(1  tan B)  2 得 tan A  tan B  1  tan A tan B ,A t a Bn  , (  B ) t a n 1 4 分) 所以 t a nA ( 1 t a A n tB an故△ABC 中, A  B   , C   (6 分)   (2)由正弦定理得c  2 ,即 c  2 , (8 分) sin  3

由余弦定理得 2  a 2  b2  2ab cos  ,即 2  a2  b2  2ab , (10 分)  由 2  a2  b2  2ab≥2ab  2ab 得 ab≤2  2 , (当且仅当 a  b 时取等号) (12 分) 所以 S  1 ab sin 3 ≤ 2  1 .(14 分) 2  2 16. (本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P  ABCD 中,锐角三角形 PAB 所 在的平面与底面 ABCD 垂直, PBC  BAD  90 . (1)求证: BC  平面 PAB ; (2)求证: AD // 平面 PBC . 证明: (1)在平面 PAB 内过点 P 作 PH  AB 于 H , B C(第 16 题)PAD 因为平面 PAB  平面 A B C D ,平面 PAB  平面 A B C DA, B PH  平面 PAB ,所以 PH  平面 ABCD , (4 分) 而 BC  平面 ABCD ,所以 PH  BC , 由 PBC  90 得 PB  BC , 又 PH  PB  P , PH , PB  平面 PAB , 所以 BC  平面 PAB , (8 分) (2)因为 AB  平面 PAB ,故 BC  AB , 由 BAD  90 得 AD  AB , 故在平面 ABCD 中, AD // BC , (11 分) 又 AD  平面 PBC , BC  平面 PBC , 所以 AD // 平面 PBC . (14 分)17. (本题满分 14 分) 某公司设计如图所示的环状绿化景观带,该景观带的内圈 由两条平行线段(图中的 AB,DC) .. 和两个半圆构成,设 AB x m,且 x ≥ 80 . (1)若内圈周长为 400 m,则 x 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大? (2)若景观带的内圈所围成区域的面积为 【解】设题中半圆形半径为 r(m) , 矩形 ABCD 的面积为 S(m ) , 内圈周长为 c(m) . D C4222 500 2 m ,则 x 取何值时,内圈周长最小? πA B

(1)由题意知: S  2 rx ,且2 x  2 πr  400 ,即 x  πr  200 ,于是 S  2rx  2  x  (πr ) ≤ 2 x  πr π π 2  20π000 (m )22当且仅当 x  πr  100 (m)时,等号成立. 答:当 x  100(m)时,矩形 ABCD 的面积最大. (6 分) (2)由题意知: 2rx  πr 2  从而 c  2 x  2πr  2 因为 x ≥ 80 ,所以22 500 22 500 π ,于是 x   r , π 2πr 222 500 (8 分)  πr .  π  r   2πr   222π500 πr r 22 2 5 0 0π 2   r ≥ 80 ,即  πr   160  πr  22 500 ≤ 0 , 2πr 2解得 250 ≤ πr ≤ 90 ,所以 0  r ≤ 90 , (10 分) π2 故 1 ≥ π . 2 8 100 r因为 c  2 2 5 0 01  2  π ≤ π r2 22 50 0 (12 分)  π  π   16 π < 0 , π 8100 9所以关于 r 的函数 c 22 500  πr 在 0 ,90  上是单调减函数. πr π 22 500 π 90 故当 r  90 即 x     80 (m)时,内圈周长 c 取得最小值, π 2  90 2 π且最小值为22 500 . (14 分)  90  340 (m) 9018. (本题满分 16 分)2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C : x 2  2  1(a  b  0) 的焦距为 2 6 ,且过点 a b2, 5 .(1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 上横坐标大于 2 的一点,过点 P 作圆 ( x  1)2  y 2  1 的两条切线分别与 y 轴交于点 A , B ,试确定点 P 的坐标,使得△ PAB 的面积最大. 解: (1)由题意得, 2c  2 6 ,且 22  5 (2 分) 1, a b2 又 c2  a 2  b2 , 故 a 2  12 , b 2  6 , 所以椭圆 C 的方程为 x  122y2 (5 分) 1; 6x02 y02 2 3 m) , B(0, n) ,不妨 m  n , y0 ) ,其中 x0  2, (2)设点 P( x0, ,且   1 ,又设 A(0,  12 6x y  0x m 0 则直线 PA 的方程为: ( y0  m) x 0 ,5

,0 ) 则圆心 ( 1 到直线 PA 的距离为y0  m  x0 m ( y0  m)2  x021,2 化简得 ( x0  2 ) (8 分) m  2y x , 0 0 m 0同理, ( x0  2)n2  2 y0 n  x0  0 ,2 所以 m , n 为方程 ( x0  2 )x  2y x  的两根, 0 0 y 0则  m  n 2 2 y0 2 4 x0 ( x0 2 ) , (10 分) ( x0  2 2)又△ PAB 的面积为 S  1 (m  n) x0 , 2 所以 S 2 y0 2  x0 ( x0  2) 2 ( x0  2 2)  8 2 x0  x0 , (12 分) 2 (x0  22 ) ( x0  2)2(t 2  8)(t  2)2 , 2  3  2 令 t  x0  2  0 ,记 , f ( t )   2t 2则 f (t ) t (t  2)(t 3  16)2 2 3  2  0 在 0,  恒成立, t43  所以 f (t ) 在 0, 2  上单调递增, 2故 t  2 3 2 ,即 x0  2 3 时, f (t ) 最大, 此时△ PAB 的面积最大. (16 分)19. (本题满分 16 分)x 1 ,aR . 已知函数 f ( x) a l n  x(1)若 f ( x) 有极值,求 a 的取值范围; (2)若 f ( x) 有经过原点的切线,求 a 的取值范围及切线的条数,并说明理由.1 ( x  0) ,(2 分) 解: (1)易得 f ( x)  a  12  ax  x x x2若 a≤0 ,则 f ( x ) 0 ,从而 f ( x) 无极值; 若 a > 0,则当 x  1 时, f ( x)  0 ; x  1 时, f ( x)  0 ,此时 f ( x) 有极小值 f 1 . a a a 综上,a 的取值范围是 (0 , ) .(4 分) (2)设 P(x0,y0) 是经过原点的切线与函数 f ( x) 图象的切点, 则切线方程为 y  a ln x0  1  a  12 ( x  x0 ) , (6 分) x0 x0 x0 因为切线过点(0,0),于是 a ln x0  1  a  1 ,即 2  a 1  ln x0  , x0 x0 x06

因为 a  0 ,所以 2  x0  x 0ln x , 0 a xl n ,则 x g ( x) 1 l n x 1  ,得 0 x  1 ,(8 分) 设 g ( x) xxg ( x)(0,1) + ↗1 0 极大值 1(1,  ) ↘g(x)故当 2  1 ,即 0  a  2 时,不存在切线; a 当 2  1 或 2  0 ,即 a  2 或 a<0 时,有且仅有一条切线, a a 当 0  2  1 ,即 a  2 时,存在两条切线, (12 分) a) x  x ln x  m 在(0,1)内一定有一解,其中 m  2 . 下证:对任意的 m  ( 0, 1, a1  m 在(0,1) 内有一解,  证明 1  l n x xt mt ,  内有一解. ) 在t ( 1  证明 1  l n 1 l n t 令 h( t ) m t ,则 h(1)  m – 1  0,n h( 2 )  m  n2 1 nln 2 m  2n  1  nn  m ( 1  1 ) 1 nn(n   m 1 n   2 1 ) 1 n ,  这是关于 n 的二次函数,所以当 n 充分大时,一定取得正值,,  ) 由介值定理知, h (t ) 在 ( 1 内有唯一解,即证. (16 分)20. (本题满分 16 分) 已知数列 an  的通项公式 an  2n  (1)n , n  N* .设 an 1 , an 2 ,„, an t (其中 n1  n2  „  nt ,t  N * )成等差数列.(1)若 t  3 . ①当 n1 , n 2 , n 3 为连续正整数时,求 n1 的值; ②当 n1  1 时,求证: n3  n2 为定值; (2)求 t 的最大值.7

解: (1)①依题意, an 1 , an 1 1 , an 1 2 成等差数列,即 2an 1 1  an 1  an 1 2 ,n1 1 n1 1 n1 n1 n1 2 n1 2 从而 2  2  (1)    2  (1)  2  (1) ,当 n1 为奇数时,解得 2 n1  4 ,不存在这样的正整数 n1 ; 当 n1 为偶数时,解得 2n1  4 ,所以 n1  2 .(3 分) ②依题意, a1 , an 2 , an 3 成等差数列,即 2an 2  a1  an 3 ,n3 n3 n2 n2 从而 2  2  (1)    3  2  (1) ,当 n 2 n 3 均为奇数时, 2n2  2n3 1  1 ,左边为偶数,故矛盾; 当 n 2 n 3 均为偶数时, 2n2 1  2n3 2  1 ,左边为偶数,故矛盾;n3  5 当 n 2 为偶数, n 3 奇数时, 2n2 1  2 ,左边为偶数,故矛盾;当 n 2 为奇数, n 3 偶数时, 2n2 1  2n3  0 ,即 n3  n2  1 .(8 分) (2)设 a s , a r , a t ( s  r  t )成等差数列,则 2ar  as  at ,r r s s t t 即 2 2  (1)    2  (1)  2  (1) ,整理得, 2s  2t  2r1  (1)s  (1)t  2(1)r , 若 t  r  1 ,则 2s  (1)s  3(1)r ,因为 2 s≥2 ,所以 (1)s  3(1)r 只能为 2 或 4, 所以 s 只能为 1 或 2;(12 分) 若 t≥ r  2 ,则 2s  2t  2r 1≥2s  2r 2  2r 1≥2  24  23  10 , (1)s  (1)t 2(1)r ≤4 , 故矛盾, 综上,只能 a1 , a r , ar 1 成等差数列或 a 2 , a r , ar 1 成等差数列,其中 r 为奇数, 从而 t 的最大值为 3.(16 分)试题Ⅱ(附加题)21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 .若 ................... 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. (几何证明选讲) 如图,已知△ABC 的内角 A 的平分线交 BC 于点 D, 交其外接圆于点 E. 求证:AB  AC  AD  AE. 证明:连结 EC,易得∠B  ∠E, (2 分) 由题意,∠BAD  ∠CAE, B C AD E(第 21—A 题)8

所以△ABD∽△AEC, (6 分) 从而 A B  A D , AE AC 所以 AB  AC  AD  AE. (10 分)B. (矩阵与变换)0 0 求矩阵 M    的特征值和特征向量. 0 1 解:矩阵 M 的特征多项式为 f ( ) 0 (2 分)   (  1) , 0  1令 f ( ) 0 ,解得 M 的特征值 1  0 , 2  1 . (4 分),  x  0  y  0 将 1  0 代入二元一次方程组    1y)  , 0 0  x  ( 且x  0 ,  x  R, 解得   y  0, 1  所以矩阵 M 的属于特征值 0 的一个特征向量为   ; (7 分) 0   x  0, 同理,将 2  1 代入①解得  且x  0,  y  R, 0  所以矩阵 M 的属于特征值 1 的一个特征向量为   . (10 分) 1 C. (极坐标与参数方程) 在极坐标系中,已知 A( 1, △ABC 的面积. π 解:易得线段 AB 的中点坐标为(5, ), (2 分) 3 设点 P(ρ,θ)为直线 l 上任意一点, π 在直角三角形 OMP 中,ρcos(θ- )=5, 3 π 所以,l 的极坐标方程为 ρcos(θ- )=5, (6 分) 3 令 θ=0,得 ρ=10,即 C(10,0). (8 分)9π π ),B( 9, ),线段 AB 的垂直平分线 l 与极轴交于点 C,求 l 的极坐标方程及 3 3

1 π 所以,△ABC 的面积为: × (9-1)× 10× sin =20 3. (10 分) 2 3D. (不等式选讲) 已知 x , y  0 ,求证:x2  y 2 ≥ xy . x y2 证明:因为 x , y  0 ,且 ( x  y ) , (当且仅当 x  y 时“=”成立) ≥0所以 又x2  y 2 x  y ≥ , x y 2①(4 分) (8 分)x y (当且仅当 x  y 时“=”成立)② ≥ xy , 2由①②得x2  y 2 ≥ xy (当且仅当 x  y 时“=”成立) . (10 分) x y【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 22.如图,在正四棱柱 ABCD  A1 B1C1 D1 中, AB  1 , AA1  h . (1)若 h  2 ,求 AC1 与平面 A1 BD 所成角的正弦值; (2)若二面角 A1  BD  C 的大小为 3  ,求 h 的值. 4 解:如图,以点 A 为坐标原点, AB , AD , AA1 分别z 为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系 O  x y ,B(1,, 0 0) , D(0,, 1 0) , A1 (0,, 0 2) , C1 (1,, 1 2) , (1) 当 h  2 时,A1D1C1B1A BC(第 22 题)D   则 AC1  ( 1 ,, 1 , 2 )A1B  ( 1 ,, 0  , 2 )A1D  ( 0 ,, 1, 2)b c, ) 设平面 A1 B D 的法向量 n  (a,,  , a  2c  0  A1 B n  0, 则由  得,   , b  2c  0   A1 D n  0,, 2 , 1 ) 3 分) 不妨取 c  1 ,则 a  b  2 ,此时 n  ( 2 (zA1 B1 C1 D1    AC1  n   AC1, n >    6  6, 故c o s 6 3 3 AC1  n所以 AC1 与平面 A1 B D 所成角的正弦值为  ; (5 分)     0 h) 得, A1B  (1 (2)由 A1 (0,, ,, 0  h) , A1D  (0,, 1  h) ,A B xC(第 22 题)Dy10

y z, ) 设平面 A1 B D 的法向量 m  ( x,,  A1 B m  0,  x  zh  0,  则由  得,    y  zh  0,   A1 D m  0不妨取 z  1 ,则 x  y h ,h 1 ) 7 分) 此时 m  (h,, , ( 又平面 C B D 的法向量 A A ,, 0 h, ) 1 ( 0  AA1  m h 故c o s  AA1, m >     2, 2 AA1  m 1  2h2  h解得 h  2 . (10 分) 223.设 n 为给定的不小于 3 的正整数.数集 P  x x≤n,x  N* ,记数集 P 的所有 k (1≤k≤n, k  N* ) 元子集的所有元素的和为 Pk . (1)求 P1 , P2 ; (2)求 P 1 P 2    P n. 解: (1)易得数集 P  1,,, 2 3  , n , 则P    n  1  1  2 3n(n  1 ) , (2 分) 2数集 P 的 2 元子集中,每个元素均出现 n  1 次,n( n 1 ) ( n  故 P2  ( n 1 ) ( 1 2   3  n ) 2 1) , (4 分)1 (2)易得数集 P 的 k (1≤k≤n, k  N* ) 元子集中,每个元素均出现 C k n 1 次,k 1 故 Pk  Cn 1  (1  2  3    n) n(n  1) k 1 (6 分) Cn1 , 2n 1 n 1所以 P 1  P 2    P n n(n  1 ) 0 1 2 (C C    n 1  C n  1  n 1 2C)n(n  1 ) n1 2 22  n(n  1  ) n2 . (10 分)11

 
 

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