中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法

 时间:2018-06-26 22:44:55 贡献者:mimi爱上candy

导读:中考数学压轴题型研究(一)——动点几何问题 下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。 一、利用动点(图形)位置进行分类,把运动问题分割成几个静态问题,然后运用转化的

2015年中考数学压轴题之动点问题一
2015年中考数学压轴题之动点问题一

中考数学压轴题型研究(一)——动点几何问题 下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。

一、利用动点(图形)位置进行分类,把运动问题分割成几个静态问题,然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和 方程问题 例 1: (北京市石景山区 2010 年数学期中练习)在△ABC 中,∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC 的面积; (2)现有动点 P 从 A 点出发,沿射线 AB 向点 B 方向运动,动点 Q 从 C 点出发,沿射线 CB 也向点 B 方向运动。

如果点 P 的速度 是 4CM/秒,点 Q 的速度是 2CM/秒,它们同时出发,几秒钟后,△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半? (3)在第(2)问题前提下,P,Q 两点之间的距离是多少? 点评:此题关键是明确点 P、Q 在△ABC 边上的位置,有三种情况。

(1)当 0﹤t≦6 时,P、Q 分别在 AB、BC 边上; (2)当 6﹤t≦8 时,P、Q 分别在 AB 延长线上和 BC 边上; (3)当 t >8 时, P、Q 分别在 AB、BC 边上延长线上. 然后分别用第一步的方法列方程求解.BC A例 2: (北京市顺义 2010 年初三模考)已知正方形 ABCD 的边长是 1,E 为 CD 边的中点, P 为正方形 ABCD 边上的一个动点,动 点 P 从 A 点出发,沿 A →B → C →E 运动,到达点 E.若点 P 经过的路程为自变量 x,△APE 的面积为函数y,(1)写出 y 与 x 的关系式 (2)求当 y=1 3时,x 的值等于多少?点评:这个问题的关键是明确点 P 在四边形 ABCD 边上的位置,根据题意点 P 的位置分三种情况:分别在 AB 上、BC 边上、EC 边上. 例 3:(北京市顺义 2010 年初三模考)如图 1 ,在直角梯形 ABCD 中,∠B=90°,DC∥AB, 动点 P 从 B 点出发, 沿梯形的边由 B→C → D → A 运动,设点 P 运动的路程为 x ,△ABP 的面积 为 y , 如果关于 x 的函数 y 的图象如图 2 所 示 ,那么△ABC 的面积为( A.32 B.18 C.16 ) D.103 4y动点 P 、 Q 同 x  6 与坐标轴分别交于 A、 B 两点, 运动, 速度为每秒 1 个单位长例 4: (09 齐齐哈尔) 直线 y  B时从 O 点出发,同时到达 A 点,运动停止.点 Q 沿线段 O AP O Q A x度,点 P 沿路线 O → B → A 运动. (1)直接写出 A、 B 两点的坐标; (2)设点 Q 的运动时间为 t 秒, △ O P Q 的面积为 S ,求出 S 与 t 之间的函数关系式; (3)当 S 48 5时,求出点 P 的坐标,并直接写出以点 O 、 P 、 Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标.点评:本题关键是区分点 P 的位置:点 P 在 OB 上,点 P 在 BA 上。

例 5: (2009 宁夏)已知:等边三角形 A B C 的边长为 4 厘米,长为 1 厘米的线段 M N 在 △ A B C 的边 A B 上沿 A B 方向以 1 厘米/秒的速度向 B 点运动(运动开始时,点 M 与点 A 重合,点 N 到达点 B 时运动终止) ,过点 M 、 N 分别作 A B 边的垂 线,与 △ A B C 的其它边交于 P 、 Q 两点,线段 M N 运动的时间为 t 秒. (1)线段 M N 在运动的过程中, t 为何值时,四边形 M N Q P 恰为矩形?并求出该矩形的面积; (2)线段 M N 在运动的过程中,四边形 M N Q P 的面积为 S ,运动的时间为 t .求四边形C Q1/6P A M N B

M N Q P 的面积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围.解: (1)过点 C 作 C D  A B ,垂足为 D .则 A D  2 , 当 M N 运动到被 C D 垂直平分时,四边形 M N Q P 是矩形,即 A M 3 2时,四边形 M N Q P 是矩形, t 3 2秒时,四边形 M N Q P 是矩形.C Q3 2 P M  A M ta n 6 0 ° =3 23 , S 四 边 形 M N Q P 3P(2) 1 ° 当 0  t  1 时, S 四 边 形 M N Q P 1 2(PM  QN · M N  )3t 3 2AM CN PB2 ° 当 1 ≤ t ≤ 2 时, S 四 边 形 M N Q P 1 2(PM  QN · M N  )3 23Q3 ° 当 2  t  3 时, S 四 边 形 M N Q P 1 2(PM  QN · M N   )3t 7 23AMN B点评:此题关键也是对 P、Q 两点的不同位置进行分类。

例 6: (2009 四川乐山) .如图(15) ,在梯形 A B C D 中, D C ∥ A B ,  A  9 0 °, A D  6 厘米, D C  4 厘米, B C 的坡度 i  3∶ 4, 动点 P 从 A 出发以 2 厘米/秒的速度沿 A B 方向向点 B 运动,动点 Q 从点 B 出发以 3 厘米/秒的速度沿B  C  D 方向向点 D 运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动 D点也随之停止.设动点运动的时间为 t 秒. (1)求边 B C 的长; (2)当 t 为何值时, P C 与 B Q 相互平分;cC c Q c P E (3) c c图 B cA (3)连结 P Q , △ P B Q 的面积为 y, 设 探求 y 与 t 的函数关系式,求 t 为何值时, y 有最 c大值?最大值是多少? 6. 解: (1)作 C E  A B 于点 E ,如图(3)所示,则四边形 A E C D 为矩形. 又  A E  C D  4, C E  D A  6.  i  3∶ 4,CE EB3 4. E B  8, A B  1 2. 2分在 R t △ C E B 中,由勾股定理得: B C CE  EB22 1 0.(2)假设 P C 与 B Q 相互平分.由 D C ∥ A B , P B C Q 是平行四边形(此时 Q 在 C D 上) ······· 则 . ······ 即 C Q  B P , 3 t  1 0  1 2  2 t. 解得 t 22 5, t  即22 5秒时, P C 与 B Q 相互平分.(3)①当 Q 在 B C 上,即 0 ≤ t ≤10 3时,作 Q F  A B 于 F ,则 C E ∥ Q F .2/6

QF CEBQ BC, 即QF 63t 10. QF  9t 5. S △ PBQ  1 2PB QF  ·1 2(1 2  2 t · )9t 5=9 5(t  3) 281 5.当 t  3 秒时, S △ P B Q 有最大值为81 5厘米 .2②当 Q 在 C D 上,即10 3≤ t≤14 3时, S △ P B Q 1 2PB CE  ·1 2(1 2  2 t )  6 = 3 6  6 t.易知 S 随 t 的增大而减小.故当 t 10 3秒时, S △ P B Q 有最大值为 3 6 10 3 6  16厘 米 .2 9 2 54  10  t, 0 ≤ t     t  5 3  81 5    1 6, y   5    6 t  3 6. 1 0 ≤ t ≤ 1 4     3   3 综上,当 t  3 时, S △ P B Q 有最大值为81 5厘米 .2二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函数或方程。

例 7: (包头)如图,已知 △ A B C 中, A B  A C  1 0 厘米, B C  8 厘米,点 D 为 A B 的 中点. (1)如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动,同时,点 Q 在线段 CA 上 由 C 点向 A 点运动. ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 1 秒后, △ B P D 与 △ C Q P 是否全等, 请说明理由;AD Q B CP②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度为多少时,能够使 △ B P D 与 △ C Q P 全等? (2)若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发,点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发,都逆时针沿 △ A B C 三边运动,求经过 多长时间点 P 与点 Q 第一次在 △ A B C 的哪条边上相遇? 解:(1)①∵ t  1 秒,∴ B P  C Q  3  1  3 厘米, ∵ A B  1 0 厘米,点 D 为 A B 的中点,∴ B D  5 厘米. 又∵ P C  B C  B P, B C  8 厘米,∴ P C  8  3  5 厘米,∴ P C  B D . 又∵ A B  A C ,∴  B   C ,∴ △ B P D ≌ △ C Q P . ②∵ v P  v Q , ∴ B P  C Q , 又∵ △ B P D ≌ △ C Q P ,  B   C ,则 B P  P C  4, C Q  B D  5 , ∴点 P ,点 Q 运动的时间 t BP 34 3秒,∴ v Q CQ t5 4 315 4厘米/秒.(2)设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇,由题意,得15 4x  3 x  2  1 0 ,解得 x 3/680 3秒.

∴点 P 共运动了80 3 3  8 0 厘米.∵ 8 0  2  2 8  2 4 ,∴点 P 、点 Q 在 A B 边上相遇,∴经过80 3秒点 P 与点 Q 第一次在边 A B 上相遇.例 8: (09 济南)如图,在梯形 A B C D 中, A D ∥ B C , A D  3, D C  5, A B  42 , ∠ B  4 5 . 动点 M 从 B点出发沿线段 B C 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动;动点 N 同时从 C 点出发沿线段 C D 以每秒 1 个单位长度的速度向 终点 D 运动.设运动的时间为 t 秒. (1)求 B C 的长. (2)当 M N ∥ A B 时,求 t 的值. (3)试探究: t 为何值时, △ M N C 为等腰三角形. 解: (1)如图①,过 A 、 D 分别作 A K  B C 于 K , D H  B C 于 H ,则四边形 A D H K 是矩形 ∴ K H  A D  3. R t △ A B K 中, A K  A B s in 4 5   4 在2. 2 2  4B K  A B c o s 4 5   422 2 4 在, R t △ C D H 中,由勾股定理得, H C 5 4223∴ BC  BK  K H  H C  4  3  3  10ADAD NBK (图①)HCBM (图②)GC(2)如图②,过 D 作 D G ∥ A B 交 B C 于 G 点,则四边形 A D G B 是平行四边形 ∵ M N ∥ AB ∴ M N ∥ D G ∴ BG  AD  3 ∴G C  10  3  7 由题意知,当 M 、 N 运动到 t 秒时, C N  t, C M  1 0  2 t. ∵ D G ∥ M N ∴∠ N M C  ∠ D G C 又∠ C  ∠ C ∴△ M NC ∽ △GDC ∴CN CDCM CG即t 510  2t 7解得, t 50 17(3)分三种情况讨论:①当 N C  M C 时,如图③,即 t  1 0  2 t ∴ t 10 3AD NAD NB (图③)②当 M N  N C 时,如图④,过 N 作 N E  M C 于 E 解法一:由等腰三角形三线合一性质得 E C MCB (图④)M HEC1 2MC 1 21 0  2 t  5t在 R t △ C E N 中, c o s c EC NC5t t又在 R t △ D H C 中, c o s c CH CD3 5∴5t t3 5解得 t 25 84/6

∵∠ C  ∠ C ,  D H C   N E C  9 0  ∴ △ N E C ∽ △ D H C ∴NC DCEC HC即t 55t 3∴t 25 8③当 M N  M C 时,如图⑤,过 M 作 M F  C N 于 F 点. F C  解法一: (方法同②中解法一)1 2NC 1 2tA解得 t D N F1 cos C 解法二:FC MCt 2 10  2t3 560 17B (图⑤)HMC∵∠ C  ∠ C ,  M F C   D H C  9 0  ∴ △ M F C ∽ △ D H C∴FC HCMCt 60 10  2t 即 2  ∴t  17 DC 3 51综上所述,当 t 10 3、t 25 8或t 60 17时, △ M N C 为等腰三角形例 9: (呼和浩特)如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90º,AB=12cm,AD=8cm,BC=22cm,AB 为⊙O 的直径, 动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动, 动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动, Q 分别从点 A、 P、 C 同时出发,当其中一点到达端 点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为 t(s). (1)当 t 为何值时,四边形 PQCD 为平行四边形? (2)当 t 为何值时,PQ 与⊙O 相切? 解:(1)∵直角梯形 A B C D,A D ∥ B C  P D ∥ Q CAPDO B CQ 当 P D  Q C 时,四边形 P Q C D 为平行四边形.由题意可知: A P  t, C Q  2 tAPD 8  t  2 t , 3t  8 , t 8 3O B Q A P H D C 当t 8 3s 时,四边形 P Q C D 为平行四边形.(2)解:设 P Q 与 ⊙ O 相切于点 H , 过点 P 作 P E  B C , 垂足为 EO 直角梯形 A B C D , A D ∥ B C P E  A B 由题意可知: A P  B E  t, C Q  2 t  B Q  B C  C Q  2 2  2 tE Q  B Q  B E  2 2  2 t  t  2 2  3tB EQC A B 为 ⊙ O 的直径,  A B C   D A B  9 0 °  A D 、 B C 为 ⊙ O 的切线 A P  P H , H Q  B Q P Q  P H  H Q  A P  B Q  t  2 2  2t  2 2  t5/6

在 R t △ P E Q 中, P E22 EQ2 P Q  1 2  ( 2 2  3 t )  ( 2 2  t ) 即: 8 t  8 8 t  1 4 4  02 2 2 22t  1 1t  1 8  0 , ( t  2 )( t  9 )  0  t 1  2 , t 2  9AD 1 当 t  2 秒时, P Q 与 ⊙ O 相切.7分因为 P 在 A D 边运动的时间为8 1 8 秒,而 t  9  8  t  9 (舍去)例 10.如图,在矩形 ABCD 中,BC=20cm,P,Q,M,N 分别从 A,B,C,D 出发 沿 AD,BC,CB,DA 方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另 一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若 BQ=xcm( x  0 ),则 AP=2xcm, CM=3xcm,DN=x cm. (1)当 x 为何值时,以 PQ,MN 为两边,以矩形的边(AD 或 BC)的一部分为第三边构 成一个三角形; (2)当 x 为何值时,以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形;2APNDBQMC(3)以 P,Q,M,N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求 x 的值;如果不能,请说明理由. 解: (1)当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时,以 PQ,MN 为两边,以矩形的边(AD 或 BC)的一部分为第三边可能构成一个三角 形. ①当点 P 与点 N 重合时,由x2 2 x  2 0, 得 x1 21  1 ,x2  2 1  1(舍去) 因为 BQ+CM= x  3 x  4 ( .2 1  1)  2 0 , 此时点 Q 与点 M 不重合. 所以x 2 1  1 符合题意.②当点 Q 与点 M 重合时,由 x  3 x  20, 得 x  5 .此时 D N  x2 2 5  2 0 ,不符合题意.故点 Q 与点 M 不能重合.所以所求 x 的值为21  1 .(2)由(1)知,点 Q 只能在点 M 的左侧, ①当点 P 在点 N 的左侧时,由 2 0  ( x  3 x )  2 0  ( 2 x  x ) ,解得 x1  0 ( 舍 去 ), x 2  2 .2当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形. ②当点 P 在点 N 的右侧时,由 2 0  ( x  3 x )  ( 2 x  x )  2 0 ,2解得 x1   1 0 ( 舍 去 ) , x 2  4 .当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形.所以当 x  2 或 x  4 时,以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形. (3)过点 Q,M 分别作 AD 的垂线,垂足分别为点 E,F.由于 2x>x,所以点 E 一定在点 P 的左侧. 若以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是等腰梯形,2则点 F 一定在点 N 的右侧,且 PE=NF,即 2 x  x  x  3 x .解得 x1  0 ( 舍 去 ), x 2  4 . 由于当 x=4 时, 以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形,所以,以 P,Q,M,N 为顶点的四边形不能为等腰梯形.6/6

 
 

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